Difractometría óptica por pasos de fase aproximados.

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 13155 (2023) Citar este artículo

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La difractometría óptica (OD) que utiliza un paso de fase es una alternativa a la interferometría y, además, tiene la menor sensibilidad a las vibraciones ambientales. Por tanto, el OD ha encontrado numerosas aplicaciones metrológicas y tecnológicas interesantes. OD utiliza un paso de fase para detectar la influencia de los objetos medidos por los cambios en el patrón de difracción de Fresnel. Recientemente, demostramos que tales mediciones no requieren pasos de fase infinitamente agudos, aunque la fabricación de elementos tan agudos también es imposible. Aquí abordamos la cuestión de la suavidad de las superficies de los escalones de fase. Hasta ahora, en todas las aplicaciones de OD las superficies de los pasos de fase incorporados se consideran ópticamente lisas y planas. Sin embargo, en la práctica, es inevitable cierta cantidad de rugosidad y falta de planitud, incluso en un proceso de fabricación preciso y cuidadoso. Mostramos que preservar las características del patrón de difracción OD de un paso de fase depende del nivel de rugosidad en las superficies del paso de fase. Definimos el número de franjas detectables y las funciones de autocorrelación de los patrones de difracción como medidas para evaluar la similitud de las difracciones de paso de fase aproximada con el caso ideal. Derivamos la descripción teórica y confirmamos los resultados con simulaciones y experimentos.

Un cambio abrupto o confinamiento en la fase, amplitud, gradiente de fase o estado de polarización de un frente de onda de luz provoca una difracción de Fresnel apreciable, y el patrón de difracción incluye información del objeto difractor1,2,3,4,5. La técnica de “difractometría óptica (OD)” extrae dicha información, que puede ser sobre el comportamiento de absorción de luz del objeto, los cambios de fase óptica o las características de polarización. La OD se puede aplicar ya sea en la reflexión de un paso físico reflectante o en la transmisión al pasar la luz a través de una región límite de medios transparentes con diferentes índices de refracción. La OD se utiliza principalmente con luz visible, pero también puede realizarse con otras fuentes de ondas como los rayos X6. Utilizando el análisis de óptica ondulatoria, la OD se formula y estudia de manera bastante exhaustiva tanto en el modo de reflexión como en el de transmisión2,3. Sin embargo, recientemente MT Tavassoly demostró que la difracción de Fresnel es un efecto mecánico cuántico básico7. En otra interpretación, las franjas de difracción del paso de fase pueden considerarse como un holograma de las ondas de luz que interfieren que salen de los dos lados del paso de fase8.

La visibilidad de las franjas de difracción y las posiciones de sus extremos suelen servir como criterio en las medidas citadas2,9. Estos parámetros varían a medida que cambia la diferencia de trayectoria óptica (OPD), lo que a su vez es el resultado de variaciones en el ángulo de incidencia de la luz, la altura del paso de fase, el índice de refracción del objeto o el índice de refracción del medio circundante (en el modo de transmisión). )2.

Teniendo en cuenta la robustez, las vibraciones, la viabilidad y otras ventajas sobre la interferometría óptica, la DO a partir de pasos de fase ha encontrado varias aplicaciones metrológicas y tecnológicas interesantes. Entre ellas, medición precisa de desplazamientos en escalas de hasta nanómetros10, espesor de película delgada11, índices de refracción de sólidos y líquidos12,13, coeficiente de difusión3, gradiente de temperatura14, velocidad de grabado15, parámetros de coherencia y forma de línea espectral16, medición directa del x- El índice de refracción de los rayos6, la dispersión del color17, la ondasimetría18 y las imágenes cuantitativas de fase 3D9 han sido los más eficaces para nombrar.

En las aplicaciones anteriores del DO, así como en los estudios teóricos, el paso de fase siempre se consideró un paso brusco. Si bien es ciertamente imposible dar un paso tan brusco y un nivel de brusquedad es inevitable. Recientemente, investigamos el impacto de la brusquedad de los pasos de fase en las mediciones de OD1. Probamos específicamente que se puede tolerar hasta un 10% de brusquedad en el OD basado en fases sin un efecto considerable en las mediciones. El parámetro de contundencia se puede definir como la relación entre la longitud de conjunción del paso de fase y su altura.

Aquí abordamos otra cuestión importante, que es la suavidad de las superficies de los escalones de fase. Al igual que en el caso de la nitidez, es prácticamente imposible fabricar un paso de fase 100% ópticamente plano y suave. La rugosidad residual, a su vez, provoca un campo aleatorio superpuesto, llamado patrón moteado, en la difracción de Fresnel. Es de destacar que en varios métodos de obtención de imágenes y detección normalmente la presencia de motas se considera una fuente de error y un factor perturbador. Sin embargo, el procesamiento estadístico adecuado de la distribución de intensidad del campo moteado puede proporcionar información general valiosa sobre los cambios dinámicos en el objeto dispersor del que se origina el campo moteado19,20,21,22,23,24,25. Sin embargo, aquí nos centramos en la característica perturbadora antes mencionada del fenómeno del speckle.

Esquema de formación por difracción de Fresnel a partir de un paso de fase aproximado.

Para simplificar la investigación teórica se considera el paso de fase unidimensional (1D). Como se muestra esquemáticamente en la Fig. 1, la incidencia de un frente de onda cilíndrico que se origina a partir de una fuente lineal S en el paso de fase 1D, que tiene el eje de simetría perpendicular a la página y pasa a través de S, forma la difracción de Fresnel. P es un punto de observación arbitrario. La diferencia entre la altura de las dos superficies paralelas es hy la longitud de la conjunción es l. En la Fig. 1, el origen del sistema de coordenadas se define en el lado superior del paso de fase donde comienza la conjunción. Por lo tanto, \(y(x=0)\) es igual a h y \(y(x=l)\) es igual a cero. Utilizando la integral de Fresnel-Kirchhoff se puede calcular la amplitud e intensidad del complejo difractado26. La integración se realiza sobre todos los rayos que se originan en las fuentes secundarias de Huygens formadas al chocar con los rayos en el paso de fase. Tres que representan rayos que se originan en el punto fuente S y que inciden en la izquierda (\(\vec{r}_1\)), la conjunción (\(\vec{r}_2\)) y la derecha (\(\vec{r} _3\)) partes del paso, llegar al punto P por \(\vec{r^{\prime}}_1\), \(\vec{r^{\prime}}_2\), y \( \vec{r^{\prime}}_3\), respectivamente. El punto incidente de la reflexión especular se muestra mediante el vector \(\vec{x}_0\), y \(\vec{R}\) y \(\vec{R^{\prime}}\) son los rayos incidentes y reflejados hasta este punto, respectivamente. La amplitud compleja del frente de onda difractado en el punto P se calcula tomando la integral de difracción a lo largo del paso de fase, lo que conduce a:

donde \(\lambda\), \(\sqrt{\frac{-i}{\lambda }}\), A, \(k=2\pi /\lambda\) y \({\mathfrak {R} }\) son la longitud de onda, el factor de inclinación, la amplitud de la onda incidente, el número de onda y la reflectancia de amplitud de la superficie del paso de fase, respectivamente. Para obtener la integral anterior se considera la aproximación de Fresnel y los vectores \(\vec{r}_1\), \(\vec{r}_2\), \(\vec{r}_3\), \(\ vec{r^{\prime}}_1\), \(\vec{r^{\prime}}_2\) y \(\vec{r^{\prime}}_3\) se expresaron en términos de \(\vec{R}\), \(\vec{R^{\prime}}\), \(\vec{x}_0\), h(x) y \(\theta\), que se representan en la Fig. 1. Los detalles sobre la derivación de la ecuación. (1) se puede encontrar en 1,2.

Resultados de la simulación de la difracción de Fresnel de los pasos de fase y los perfiles de intensidad superpuestos a lo largo de la línea perpendicular a la dirección del paso de fase para diferentes valores de rugosidad superpuestos: (a) \(\sigma =0\) (paso de fase idealmente suave), (b) \(\sigma =5.1\) nm, (c) \(\sigma =10.3\) nm, y (d) \(\sigma =31.4\) nm. En estas simulaciones \(a=1\), \(b=1\) y \(c=4\times 10^8\). (e) Los perfiles de intensidad de los patrones difractados a lo largo del eje x para pasos de fase simulados de diversa rugosidad.

La función h(x) describe la geometría del paso de fase. En el caso de un paso de fase de superficie infinitamente agudo y suave, de hecho, esta función es una función de paso. En un paso de fase contundente y suave, como analizamos en 1, esta función se puede aproximar como una expansión polinómica de al menos \({\mathcal {O}}\)(5) (para cumplir las condiciones de continuidad y diferenciabilidad). Alternativamente, y en una visión más general, también se pueden considerar funciones de interpolación y sujeción de tipo sigmoide, como la función “Smoothstep”27. En el presente estudio, consideramos además que las superficies del paso de fase también tienen un nivel de rugosidad. La rugosidad también está incluida en la función geométrica h(x). Sin embargo, para discriminar el efecto de la rugosidad de las superficies del efecto de la brusquedad en la difracción de Fresnel de los pasos de fase, en nuestras simulaciones e investigaciones experimentales sólo se considera una ligera brusquedad; la brusquedad en las simulaciones se toma como \(\frac{l}{h}=0.0015\), que según 1 aplica un efecto insignificante sobre el patrón de difracción. Además, se considera que h(x) cumple las condiciones de continuidad y diferenciabilidad, es decir, su primera y segunda derivada es cero en las uniones. De manera similar, en los experimentos asociados los pasos de fase tienen una brusquedad insignificante.

Cálculo analítico de la ecuación. (1) no es una tarea fácil, por lo tanto, se deben realizar simulaciones numéricas alternativamente. La consideración más sencilla para la rugosidad es la función de ruido adicional agregada a h(x):

donde \(\mathrm{{rSig}}(x)\) es una función sigmoidea inversa para representar un paso de fase suave:

donde a, byc son parámetros de ajuste libre27. Para un valor grande de c, \(\mathrm{{rSig}}(x)\) se aproxima a una función escalonada. En la simulación tomamos \(a=1\), \(b=1\) y \(c=4\times 10^8\), lo que garantiza que se desprecie el efecto de la brusquedad de los bordes en el patrón de difracción1. \(f_n(x)=h_r~\mathrm{{Sprand}}(x)\), donde \(\mathrm{{Sprand}}(x)\) genera ruidos aleatorios dispersos entre 0 y 1 a lo largo de la dirección x28. La escasez de rugosidad se ajusta mediante el argumento de densidad de esta función y el parámetro \(h_r\) se multiplica como parámetro de resistencia. La Figura 2 muestra los resultados de la simulación de la difracción de Fresnel de pasos de fase con diferentes rugosidades. En estas simulaciones, la altura del escalón es \(h=20~\upmu\)m y \(\theta =0\). Las distancias R y \(R^\prime\) se toman 50 cm en las simulaciones y en los experimentos. A partir de la función h(x) y en base a las distribuciones de ruido generadas, la rugosidad de las superficies de los pasos de fase se calcula como la desviación estándar de la distribución de altura (\(\sigma\)). Las Figuras 2a a d muestran los patrones de difracción y los perfiles de intensidad superpuestos a lo largo de la línea perpendicular a la dirección del paso de fase para \(\sigma =\)0, 5,1 nm, 10,3 nm y 31,4 nm, respectivamente. Es observable que disminuir la suavidad (mayor \(\sigma\)) afecta la difracción. Los resultados muestran cualitativamente que para \(\sigma =31.4\) nm apenas es posible atribuir el patrón a un patrón de difracción de paso de fase. Es notable que la simulación y los cálculos analíticos se realicen en 1D incluso si los patrones de difracción 2D se muestran en la Fig. 2. Por lo tanto, las estructuras en forma de franjas en pasos de fase de superficie rugosa son de hecho la extensión de la rugosidad aplicada en los perfiles 1D. de los patrones de difracción. Para los resultados experimentales, definiremos medidas para expresar cuantitativamente la similitud de los patrones con los patrones de difracción de pasos de fase y evaluaremos el efecto de la rugosidad de la superficie en la OD. Por lo tanto, los criterios pueden implicar si las mediciones basadas en el análisis del patrón de difracción de un paso de fase de rugosidad conocida son válidas. En el video complementario S2 se muestra cómo cambiar el perfil de la sección transversal de los patrones de difracción variando \(\sigma\). El procedimiento se ha aplicado en un paso de fase correspondiente a una diferencia de trayectoria óptica de \(\frac{\lambda }{4}\). Este paso de fase tiene un patrón de difracción simétrico y la máxima visibilidad que conduce a la mayor sensibilidad a las rugosidades aplicadas. De hecho, este nivel de sensibilidad proporciona una característica adicional de OD, que se puede utilizar como herramienta de evaluación de la suavidad o para la detección y medición de ruido inducido externamente.

Difracción de Fresnel y perfiles transversales superpuestos de pasos de fase rugosa rugosos lijando espejos lisos durante 4 minutos con papeles de lija con números de grano de (a) 3000, (b) 2000, (c) 1000 y (d) 600. (e) La Perfiles de intensidad de la sección transversal de los patrones difractados experimentales a lo largo del eje x para pasos de fase de diversa rugosidad.

Las Figuras 3a a d muestran la difracción de Fresnel de los pasos de fase con cuatro rugosidades diferentes obtenidas al raspar los espejos lisos durante 4 minutos con papeles de lija de números de grano 3000, 2000, 1000 y 600, respectivamente. En la figura complementaria S1 se muestran patrones similares y perfiles de sección transversal superpuestos para el resto de los números de grano y para tiempos de lijado de 4 min y 6 min. Los resultados muestran que la forma de las franjas no se puede reconocer para los pasos de fase rugosos con papeles de lija de número de grano 600 e inferior. Dentro de los pasos de fase aproximados disponibles, esto define un umbral después del cual las mediciones basadas en OD del paso de fase ya no son confiables.

Para evaluar el umbral para las mediciones de OD de una manera más cuantitativa, extraemos dos parámetros de los patrones de difracción registrados: (1) número de franjas reconocibles y (2) función de autocorrelación. Un patrón de difracción típico de un paso de fase incluye un mínimo rodeado por dos máximos. Luego, tanto en el lado izquierdo como en el derecho aparecen franjas de menor ancho y menores intensidades máximas. El número de franjas, o equivalentemente el número de extremos de los patrones registrados versus la rugosidad de la superficie (\(\propto\) \(\frac{1}{\mathrm{{Grit ~Number}}}\)) para los espejos rugosos se muestran en la Fig. 4. Para evitar el efecto de ruidos, el recuento de franjas se realiza después de suavizar los datos. Como era de esperar, aumentar el tiempo de lijado hace que los pasos de fase sean más ásperos y se reduce el número de franjas reconocibles. Además, durante un tiempo de lijado constante, un número de grano más pequeño da como resultado una mayor rugosidad de la superficie y, por lo tanto, un menor número de franjas reconocibles. Para los juegos de espejos examinados, el recuento del número de franjas muestra que hay casos específicos con diferentes números de grano y tiempos de lijado, lo que da como resultado estados equivalentes. Por ejemplo, usar papel de lija de grano 3000 durante 6 min equivale al caso de grano número 2000 para frotar 4 min, o usar papel de lija de grano número 120 durante 2 min es similar al caso de grano número 600 para frotar 6 min.

Número de franjas versus rugosidad de la superficie (\(\propto\) \(\frac{1}{\mathrm{{Grit ~Number}}}\)) para los espejos rugosos.

Función de autocorrelación (ACF) de los perfiles de sección transversal de OD para evaluar la similitud del patrón de difracción de pasos de fase rugosos con el caso ideal. AFC calculado para (a) los patrones de difracción de simulación y (b) los resultados experimentales.

Además, la función de autocorrelación (ACF) de los perfiles transversales de OD puede exhibir cuantitativamente la similitud del patrón rugoso con el caso ideal de manera más efectiva. La Figura 5a muestra el ACF calculado para los resultados de la simulación. El ACF se calcula como una función del desplazamiento espacial de los perfiles de la sección transversal de los patrones de difracción a lo largo de la dirección x. El cálculo se muestra para los pasos de fase de \(\sigma =0\) (paso de fase idealmente suave), \(\sigma =5.1\) nm, \(\sigma =10.3\) nm y \(\sigma = 31,4\) nm. De manera similar, la Fig. 5b muestra el ACF para los perfiles de sección transversal experimentales. A medida que aumenta el cambio espacial, se reduce la similitud de los patrones marginales con el patrón inicial. Por lo tanto, ACF se amortigua hasta cero en los cambios más allá de \(\approx\)2 mm para el paso de fase suave (color verde en la Fig. 5a). A medida que aumenta la rugosidad, la amortiguación se produce en un desplazamiento espacial más pequeño. Esto es aún más pronunciado en los resultados experimentales, ya que el patrón de difracción contiene más aleatoriedad en la distribución de intensidad y no es tan simétrico como el caso teórico a lo largo del eje y. Los resultados del ACF sugieren un umbral más allá del cual el patrón de difracción ya no es similar a un patrón OD. En consecuencia, dichos pasos de fase aproximados no se pueden utilizar para mediciones basadas en OD. Sin embargo, no existe un umbral específico para regir los experimentos y este criterio ACF es un umbral guía aproximado para asegurar las mediciones en las aplicaciones metrológicas u otras aplicaciones de OD.

En conclusión, investigamos el efecto de la rugosidad de la superficie en la OD del paso de fase. Dado que en todas las investigaciones teóricas y mediciones experimentales los pasos de fase utilizados se consideran idealmente suaves, abordar la cuestión de la suavidad de la superficie del paso de fase fue una tarea necesaria. Demostramos que el patrón de difracción de un paso de fase preservará sus características de patrón de difracción OD si el nivel de rugosidad en las superficies del paso de fase no excede un umbral definible. El umbral se puede definir encontrando la similitud del patrón de difracción con el caso del paso de fase suave mediante parámetros cuantitativos como el número de franjas centrales y ACF. Derivamos las explicaciones teóricas y presentamos los resultados de la simulación. Finalmente realizamos experimentos en pasos de fase aproximados mediante el uso de una disposición de pasos de fase variable basada en interferometría de Michelson. Las predicciones teóricas y los resultados experimentales son consistentes. Esperamos que la utilización de pasos de fase, de los cuales una de las superficies sea un espejo liso, también tenga el potencial de ser explotado, y es objeto de una investigación en curso. Además, se pueden investigar otros tipos de irregularidades, como la ondulación de las superficies. Sin embargo, la rugosidad de las superficies parece ser la forma incompleta más común y efectiva de las superficies.

Mediante el uso de técnicas de litografía o deposición de películas delgadas, se pueden fabricar pasos de fase de casi cualquier altura deseada y de excelente calidad. Sin embargo, por un lado, estos enfoques son costosos y requieren grandes esfuerzos y, por otro lado, la fabricación de pasos de fase con niveles elegidos de rugosidad que utilizamos en nuestros experimentos es un desafío. Además, a pesar de las simulaciones, fabricar un escalón de fase de altura ajustable es una tarea imposible con las técnicas de fabricación habituales. Para superar las deficiencias antes mencionadas, basándose en el uso de un interferómetro de Michelson modificado, proporcionamos un sistema de paso de fase ajustable, que no solo proporciona un paso de fase 1D de cualquier altura requerida sino que también produce pasos de fase 2D de varias formas. Además, con esta disposición es posible aplicar rugosidad, falta de precisión, ondulación u otras imperfecciones en los escalones de fase.

El esquema de la configuración se presenta en la Fig. 6. Es un interferómetro de Michelson, iluminado por un rayo láser de He-Ne colimado y filtrado espacialmente (632,8 nm), en el que la mitad de cada espejo (M\(_1\) y M \(_2\)) está cubierto por un obstáculo de borde afilado (Ob\(_1\) y Ob\(_2\)). Por tanto, en la salida del aparato el divisor de haz (BS) recoge la luz de los dos brazos sin que las luces se superpongan. En cambio, las diferencias entre las longitudes de las trayectorias ópticas de los dos brazos (\(d_1\) y \(d_2\)) en la salida del aparato pueden considerarse como un paso de fase con la altura \(h=d_1-d_2\ ). Por lo tanto, ajustando la diferencia de brazos es posible lograr un paso de fase de altura variable. El ajuste se puede realizar con una resolución de traslación definida por el posicionador de uno de los espejos. Con las soluciones de traducción disponibles actualmente se pueden lograr precisiones subnanométricas en el ajuste de pasos. Para evitar el efecto de embotamiento del paso de fase, los obstáculos incluyen un par de hojas de afeitar. Una hoja de afeitar se considera el obstáculo más afilado con una longitud conjunta de aproximadamente 1 \(\upmu\)m29. Las posiciones de los espejos se mantienen intactas para garantizar una h constante durante todos los experimentos. Se obtiene un paso de fase aproximado utilizando un par de espejos con una rugosidad predefinida para los dos brazos. Mediante el uso de papeles de lija con números de grano de 3000, 2000, 1000, 600, 400, 240 y 120 y lijado en una dirección durante tres tiempos de lijado diferentes de 2 min, 4 min y 6 min, veintiún pares de espejos rugosos se obtienen y utilizan. El lijado se realiza a presión constante y la velocidad de lijado, es decir, el número de veces que se pasa el papel de lija por el espejo durante el lijado, se mantiene constante durante el proceso de preparación. La información sobre los veintiún pasos de la fase se resume en la Tabla complementaria S1.

Configuración esquemática para experimentos de OD de altura de escalón variable; Lente L, orificio estenopeico PH, divisor de haz BS, espejo M, obstáculo Ob.

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente previa solicitud razonable.

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Ali-Reza Moradi

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ARM concibió y supervisó el proyecto. MJS llevó a cabo simulaciones y fundamentos teóricos. ES llevó a cabo experimentos. MJS, EN, ARM y PE analizaron e interpretaron los datos de difractometría óptica. ARM, MJS, PE y EN contribuyeron a la preparación inicial del manuscrito. ARM y MJS prepararon el manuscrito revisado.

Correspondencia a Ali-Reza Moradi.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Información complementaria 2.

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Reimpresiones y permisos

Siavashani, MJ, Nasimdoust, E., Elahi, P. et al. Difractometría óptica por pasos de fase aproximada. Representante científico 13, 13155 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40267-6

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Recibido: 14 de mayo de 2023

Aceptado: 08 de agosto de 2023

Publicado: 12 de agosto de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40267-6

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